Сложные задачи по математике от 35 рублей

Сложная задача по математике за 25-28 рублей

Условие задачи:

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить её график:
y=ln(x²+x+1)

Решение:

1. Область определения функции D(y): x(-;+)
    
2. Асимптоты:
   Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси. Находим параметры наклонных асимптот y=k*x+b;
   k = f(x)/x = ln(x²+x+1)/x = {/} = (ln(x2+x+1))'/x' = = 0
   b = (f(x)-k*x) = ln(x²+x+1)/x = => наклонных асимптот нет.
    
3. Экстремумы и промежутки монотонности:

   y'=	y'=0 при x=-1/2    y' так как выражение x2+x+1>0

   Знаки производной:
     x=-1/2-min
   x(-;-0,5) - функция убывает; x(-0,5;+) - функция возрастает;
    
4. Точки перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости:
   y"= = =
   y"=0 при 1-2x-2x²=0
   x₁=(-1-)/2-1,37 x₂=(-1+)/20,37; y'
   Знаки второй производной.
   
   x₁=-1,37 x₂=0,37 - точки перегиба
   x(-;-1,37) (0,37;) - функция выпукла;
   x(-1,37; 0,37) - функция вогнута;
5. Значение функции в некоторых точках:
   y(-0,5)=ln0,75-0,3
   y(0)=0
   y(-1,37)=0,41
   y(0,37)=0,39
   

Условие задачи:

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений:

x=2x-y+z y=x+2y-z z=x-y+2z

Решение:

Записываем характеристическое уравнение системы:

2-k -1   1   1  2-k -1   1  -1  2-k

=0   =>   (2-k)*{(2-k)2-1}+(2-k)+1+{-1-(2-k)}=0      (1-k)*(2-k)*(3-k)=0

Корни характеристического уравнения: k₁=1 k₂=2 k₃=3.
Запишем систему для нахождения коэффициентов r₁, r₂, r₃.

(2-k)*r1-r2+r3=0 r1+(2-k)*r2-r3=0 r1-r2+(2-k)*r3=0

При k=1 имеем

	r1-r2+r3=0 r1+r2-r3=0 r1-r2+r3=0
	<=>

r1-r2+r3=0 r1+r2-r3=0

Решением системы может служить: r₁=0 r₂=r₃=1

Записываем первую тройку фундаментальных решений системы
x₁=0*e^t=0 y₁=e^t z₁=e^t
при k=2 имеем

-r2+r3=0 r1-r3=0 r1-r2=0

Решением системы может служить: r₁=r₂=r₃=1

Вторая тройка фундаментальных решений системы:
x₂=e^2*t y₂=e^2*t z₂=e^2*t
при k=3 имеем

-r1-r2+r3=0 r1-r2-r3=0 r1-r2-r3=0

Решением системы может служить: r₂=0 r₁=r₃=1

Записываем третью тройку фундаментальных решений системы:
x₃=e^3*t y₃=0 z₃=e^3*t
Записываем общее решение системы:

x(t)=c2*e2*t+c3*e3*t y(t)=c1*et+c2*e2*t z(t)=c1*et+c2*e2*t+c3*e3*t

Сложная задача по математике за 31-35 рублей

Условие задачи:

Получить все лорановкие разложения функции:
f(z)=(z-1)/z*(z+1) по степеням z=-1-i

Решение:

Функция имеет две особые точки z₁=-1 z₂=0, а центр разложения находится в точке z=-1-i.

Расстояние от центра разложения до первой особой точки равно 1, до второй .

Можно построить три сходящихся ряда Лорана по степеням (z+1+i)

1. в круге: |z+1+i|<1
2. в кольце: 1<|z+1+i|<
3. вне круга: |z+1+i|>

Для удобства разложения запишем исходную дробь в виде суммы простейших слагаемых и добавим и отнимем значение (-1-i) в знаменателе каждой дроби. Тогда функция запишется в виде:
f(z)=(z-1)/z*(z+1)=2/(z+1)-1/z= -

Используем известное разложение 1/(z+1)=(-1)ⁿ*zⁿ

1. в круге: |z+1+i|<1
   f(z)=2/-1*+1/(1+i)* = 2*i*+(1-i)/2*
2. в кольце: 1<|z+1+i|<
   f(z)=2/(z+1+i)*+(1-i)/2*=
   =2/(z+1+i)+(1-i)/2*=
   =2*iⁿ/(z+1+i)ⁿ⁺¹+(1-i)/2*
3. вне круга: |z+1+i|>
   f(z)=2/(z+1+i)*+1/(z+1+i)*=
   =2/(z+1+i)*+1/(z+1+i)*=
   =2*iⁿ/(z+1+i)ⁿ⁺¹+(1+i)ⁿ/(z+1+i)ⁿ⁺¹